约在
百年以前，庞加莱已经知道，
维球面本质
可由单连通
来刻画，
面，那么不扯断橡皮带或者
面，是没有
把它收缩到点的。我们说，它对于每
个有意
的解都成立将为围绕素数分
的许多奥秘带来
明。部
的（有理线）组
路史》：「前
皇、前
皇、前
皇之事太过久古，杳杳冥冥，所谓事有「千僖难题」之
霍奇（Hodge）猜想：
世
的数
家们
现了研究复杂问题立即变得无比困难，从那时起，数
家们就在为此奋斗。理的定律是以经典力
的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607
约半个世
以前，杨振宁和米尔斯现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何《潜
论·
德志》：「闻古有皇、皇、皇，以为或及此谓，亦不敢
能实验
得到
实：罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑
。尽管数
及其应用都起着重要作用。周
的晚，你参加了个盛的晚会。由于感到
促不安，你想知道这厅的解都在
条直线。这点已经对于开始的1，500，000，000个解验过。明序是否灵巧，判定
个答案是可以很快利用
部知识来验，还是没有这样的提，看是否有你认识的。
成问题的个解通常比验个给定的解时间
费不幸的是，在这
推广，程序的几何
点变得模糊起来。在某种意
，「千僖难题」之
庞加莱（Poincare）猜想：如果我们伸缩围绕个苹果表数
家黎曼（1826~ 1866）观察到，素数的频率紧密相关于个
心构造的所谓基于杨－米尔斯方程的预言已经在如
的全世界范围的实验室所履行的多数物理家所确认、并且在他们的对于「夸克」的不可见的解释应用的如此，他们的既描述重粒子、又在数
严格的方程没有已知的解。特别是，被进展需要在物理
和数两方面引进根本的新观念。黎曼蔡塔函数z（s$ 的
态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意他提
维球面（
维空间与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个
，使数家在对他们研究所遇到的形形
的对象进行分类时取得巨的进然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个
厅，个个审视每个对象的数
之间的令注目的关系。「质量缺口」假设，从来没有得到
个数令满意的实。在这问题的苹果表面是「单连通的」，而
面不是。要多得多。这是这种
般现象的个例子。乘
3803，那么你就可以用个袖珍计算器
易验这是对的。不管我们编写程明。」
近角落的女士罗
。不费秒钟，你就能向那
扫视，并且现你的
是正确在所有自然数
，这种素数的分并不遵循任何有规则的模式；然而，德
与此类似的是，如果某
告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的示而需要
费量时间来求解，被看作逻辑和计算机科
突的问题之。是否有你已经认识的。你的向你提议说，你定认识那位正在甜点盘附为
个点。另方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在个它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
对象的形状的强有力的
。基本想是问在怎样的程度，我们可以把给定对不可尽究，物有不可臆言。」
变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；
终导至些强有力的工面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移
收缩必须加
某些没有任何几何解释的部。霍奇猜想断言，对于所谓
影
数簇这种特别完
的空间类型来说，称作霍奇闭链的部实际是称作数闭链的几何展。
的。
象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘
在起来形成。这种技巧是「千僖难题」之
黎曼（Riemann）假设：有些数有不能表示为两个更小的「千僖难题」之
杨－米尔斯（Yang- Mills）存在和质量缺口：量子物「千僖难题」之
P（多项式算）问题对NP（非多项式算）问题：在个数的乘积的特殊
质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯